Question

【题目】如图，三棱柱中，M，N分别为的中点．

(1)证明：直线MN//平面CAB1；

(2)若四边形ABB1A1是菱形，且， ，求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)余弦值为.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合几何关系可证得，利用线面平行的判定定理可证得直线MN//平面CAB1；

(2)结合几何体的特征建立空间直角坐标系，利用半平面的法向量可求得平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为.

试题解析：

（1）设与交于点，连接，

因为四边形是平行四边形，所以是是的中点，

是的中点，所以.

又因为是的中点，所以.

所以，所以四边形是平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，

所以直线平面.

（2）因为平行四边形是菱形，所以.

又因为，所以.又且是的中点，所以.又因为，所以≌，所以，故，从而两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，

则， ，

，

因为两两垂直，所以平面，

所以是平面的一个法向量；

设是平面的一个法向量，则，即，

令,得，所以

所以

所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为