Question

【题目】已知函数，，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）用表示，中的较大者，记函数．若函数在内恰有2个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根据垂直关系，利用求得；（Ⅱ）求导后，分别在和两个范围内判断导函数的正负，根据导函数的符号确定原函数的单调区间；（Ⅲ）首先确定在内单调递减；当时，由于，根据定义可知此时无零点；当时，则为零点，反之则不是零点，由此可得两种情况下的范围；当时，结合单调性和零点存在定理可判断出时，有一个零点.此时综合为零点时的范围，即可得到所求结果.

（Ⅰ）

由题意得：，解得：

（Ⅱ）由（1）知，

①当时，

函数在内单调递增

②当时，令，解得：或

当或时，，则单调递增

当时，，则单调递减

函数的单调递增区间为和；单调递减区间为

（Ⅲ）函数的定义域为，

在内单调递减

⑴当时，

依题意，，则函数无零点；

⑵当时，，

①若，即，则是函数的一个零点；

②若，即，则不是函数的零点；

⑶当时，，只需考虑函数在内零点的情况

①当时，，函数在内单调递增

又

（i）当时，，函数在内无零点；

（ii）当时，

又

此时函数在内恰有一个零点；

②当时，由（Ⅱ）知，函数在内单调递减，在内单调递增

，

此时函数在内恰有一个零点

综合⑴⑵⑶可知，当时，在内恰有个零点