Question

【题目】已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+1|（a∈R），g（x）＝|2x﹣1|+2.

（1）若a＝1，证明：不等式f（x）≤g（x）对任意的x∈R成立；

（2）若对任意的m∈R，都有t∈R，使得f（m）＝g（t）成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）a≤﹣3或a≥1.

【解析】

（1）a＝1时函数，利用分段讨论法比较f（x）与g（x）的大小即可；
（2）由题意知f（x）的值域包含于g（x）的值域，分别求出f（x）、g（x）的值域，列出不等式求得a的取值范围.

（1）a＝1时，函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，

g（x）＝|2x﹣1|+2；

①当x≥1时，2x<2x+1，即f（x）<g（x）；

②当x<1时，2≤2x+1，即；

③当﹣1<x时，2<﹣2x+3，即f（x）<g（x）；

④当x≤﹣1时，﹣2x<﹣2x+3，即f（x）<g（x）；

综上知，a＝1时,不等式f（x）≤g（x）对任意的x∈R成立；

（2）对任意的m∈R，都有t∈R，使得f（m）＝g（t）成立，

所以f（x）的值域包含于g（x）的值域；

由f（x）＝|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|＝|a+1|，

所以f（x）的值域为[|a+1|，+∞）；

又g（x）＝|2x﹣1|+2≥2，

所以g（x）的值域为[2，+∞）；

所以|a+1|≥2，即a+1≥2或a+1≤﹣2，解得a≥1或a≤﹣3；

所以实数a的取值范围是a≤﹣3或a≥1.