Question

以F₁（0，-1），F₂（0，1）为焦点的椭圆C过点P（，1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为（a>b>0），由已知c=1，

又2a=  

所以a=,b²=a²-c²=1，椭圆C的方程是x²+ =1

  （Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1,

若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+）²+y²=,

由解得即两圆相切于点（1，0）．

因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．

事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+）．

由即（k²+2）x²+k²x+k²-2=0

记点A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,则

又因为=（x₁-1, y₁）, =（x₂-1, y₂）,所以

?=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+）（x₂+）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+k²+1

=（k²+1） +（k²-1） + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．

解法二：（Ⅰ）由已知c=1，设椭圆C的方程是（a>1）．

因为点P在椭圆C上，所以,解得a²=2，

所以椭圆C的方程是：.

（Ⅱ）假设存在定点T（u，v）满足条件．

同解法一得（k²+2）x²+k²x+k²-2=0

记点A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,则

又因为=（x₁-u, y₁-v）, =（x₂-u, y₂-v）,及y₁=k（x₁+）,y₂=k（x₂+）．

所以?=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-u-kv）（x₁+x₂）+k²-v+u²+v²

=（k²+1） +（k²-u-kv）?+ + u²+v²，

=

当且仅当?=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T.

?=0恒成立等价于解得u=1,v=0.所以当u=1,v=0时．无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T（1，0）．10分

当直线l垂直于x轴时以AB为直径的圆亦过点T（1，0）．

    所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．

解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二．

（Ⅱ）设坐标平面上存在一个定点T满足条件，根据直线过x轴上的定点S及椭圆的对称性，所求的点T如果存在，只能在x轴上，设T（t，0）．

同解法一得

又因为=（x₁-t, y₁）, =（x₂-t, y₂）,所以

?=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=（x₁-t）（x₂-t）+k²（x₁+）（x₂+）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t ²

=（k²+1） +（k²-t）++t²

= .

当且仅当?=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T.

?=0恒成立等价于解得t=1.

所以当t=1时,以AB为直径的圆恒过点T.

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆亦过点T（1，0）．

所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件．