Question

以F₁（0，-1），F₂（0，1）为焦点的椭圆C过点P(

2

2

，1)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点S(-

1

3

，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）椭圆过点P(

2

2

，1)，则由椭圆的定义知2a=|PF₁|+|PF₂|=

( 2 2 )2+22

+

( 2 2 )2+02

=2

2

，由此可求出椭圆C的方程．
（II）解法一：若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1；若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是(x+

1

3

)2+y2=

16

9

由

(x+ 1 3 )2+y2= 16 9 x2+y2=1

，由此可求出点T的坐标．
解法二：如果存在定点T（u，v）满足条件．若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆经过点（1，0）；若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+

1

3

)．由

x2+ y2 2 =1 y=k(x+ 1 3 )

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0，然后利用根与系数的关系进行求解．

解答：解：（I）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），∵椭圆过点P(

2

2

，1)，则由椭圆的定义知
2a=|PF₁|+|PF₂|=

( 2 2 )2+22

+

( 2 2 )2+02

=2

2

所以，a=

2

，b²=a²-c²=1，
椭圆C的方程为x2+

y2

2

=1．
（II）解法一：
若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1；
若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是(x+

1

3

)2+y2=

16

9

由

(x+ 1 3 )2+y2= 16 9 x2+y2=1

解得

x=1 y=0

，所以两圆相切于点（1，0）．
因此，如果存在点T满足条件，则该点只能是（1，0）
下面证明T（1，0）就是所求的点．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+

1

3

)
由

x2+ y2 2 =1 y=k(x+ 1 3 )

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

x1+x2= -2k2 3(k2+2) x1x2= k2-18 9(k2+2)

又因为

TA

=(x1-1，y1)，

TB

=(x2-1，y2)，
则

TA

•

TB

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+

1

3

)(x2+

1

3

)=(k2+1)x1x2+(

1

3

k2-1)(x1+x2)+

1

9

k2+1
=(k2+1)•

k2-18

9(k2+2)

+(

1

3

k2-1)•

-2k2

3(k2+2)

+

1

9

k2+1=0
所以，TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（1，0），
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题设条件
解法二：（I）由已知c=1，设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-1

=1 (a＞1)．
因为点P在椭圆上，则

1

a2

+

1 2

a2-1

=1 (a＞1)，解得a²=2，
所以椭圆方程为x2+

y2

2

=1
（II）如果存在定点T（u，v）满足条件．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+

1

3

)．
由

x2+ y2 2 =1 y=k(x+ 1 3 )

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

x1+x2= -2k2 3(k2+2) x1x2= k2-18 9(k2+2)

∵又因为

TA

=(x1-u，y1-v)，

TB

=(x2-u，y2-v)，
则

TA

•

TB

=(x1-u，y1-v)•(x2-u，y2-v)=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）
=(x1-u)(x2-u)+(kx1+

1

3

k-v)(kx2+

1

3

k-v)
=(k2+1)x1x2+(

1

3

k2-u-kv)(x1+x2)+

1

9

k2-

2

3

kv+u2+v2
=(k2+1)•

k2-18

9(k2+2)

+(

1

3

k2-u-kv)•

-2k2

3(k2+2)

+

1

9

k2-

2

3

kv+u2+v2
=

(3u2+2u+3v2-5)k2-4vk+6u2+6v2-6

3(k2+2)

当且仅当

TA

•

TB

=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T（u，v）．

TA

•

TB

=0恒成立等价于

3u2+2u+3v2-5=0 -4v=0 6u2+6v2-6=0

，
解得u=1，v=0
所以当u=1，v=0时，无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T（1，0）．
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题目条件．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系，解题要注意挖掘隐含条件，合理选用公式．