Question

【题目】

已知函数，其中是常数.

(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当a＝1时，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由点斜式可求得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ） 令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，对﹣（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围．

解：(Ⅰ)由可得

.

当时,,.

所以 曲线在点处的切线方程为，

即

（Ⅱ） 令，

解得或

当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.

所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.

当，即时，随的变化情况如下表

		↘		↗

由上表可知函数在上的最小值为.

因为 函数是上的减函数，是上的增函数，

且当时，有.

所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是

.