Question

【题目】在三棱锥，中，平面，，，，为的中点，为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由；

（3）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为上的靠近的四等分点；（3）.

【解析】

（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理得到结论；

（2）取点为上的靠近的四等分点即，平面，利用面面平行，判断出线面平行，判断出结论成立；

（3）根据题意，作于，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量为，求出平面的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，求出角．

解：（1）由平面，平面，

故，由，，

平面，所以平面，

平面，

故平面平面；

（2）存在点为上的靠近的四等分点即，平面，

证明如下：取的中点，连接，，则，

因为平面，平面，所以平面，

又，平面，

所以平面平面，

又平面，

所以平面；

（3）作于，过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由，，得，，，，，，

故，，，，

，，

设平面的法向量为，

由，得，

平面的法向量为，

由，因为二面角为钝角，

故所求二面角为.