Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）对任意，，，都有恒成立，求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）4

【解析】

(1)求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调区间，得到答案；

(2)设，对任意，都有恒成立，转化为函数对，恒成立，利用导数求得函数的单调性，即可求解.

(1)由题意，函数的定义域为，且，

①当，即时，恒成立，在上单调递增；

当，即时，令得，

②当时，，据此可得：

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

③当时，，据此可得：

当时，单调递减，

当时，单调递增，

综上，当时，函数在上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；

（2）因为，所以，

设，对任意，都有恒成立，

则对，恒成立，

设，

由（1）知在上单调递减；在上单调递增；

又，则，

又，，∴，

又，所以，所以的最大值为4.