Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时， 在上单调递减，在上单调递增，当时， 的上单调递增．（2）或．

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，并因式分解，安装导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，在定义区间上单调递增；当时，导函数由负变正，单调性先减后增（2）构造差函数，结合（1）讨论单调性，确定对应最小值，解出对应的取值范围．

试题解析：解：（1），定义域为，

．

①当，即时，令， ∵，∴，

令， ∵， ∴；

②当，即时， 恒成立，

综上，当时， 在上单调递减，在上单调递增，

当时， 的上单调递增．

（2）由题意可知，在上存在一点，使得成立，

即在上存在一点，使得，

即函数在上的最小值．

由（1）知，①当，即时， 在上单调递减，

∴， ∴，

∵， ∴；

②当，即时， 在上单调递增， ∴， ∴；

③当，即时， ∴，

∵， ∴， ∴，

此时不存在使成立，

综上可得的取值范围是或．