Question

【题目】已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当时，求直线的方程；

（Ⅲ）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）根据题意得：，，及，解得，进而可得椭圆的方程；

（Ⅱ）分两种情况：当直线与轴重合时，得，不合题意；当直线与轴不重合时，设直线的方程为，，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得，由，得，组成方程组解得，进而可得直线的方程；

（Ⅲ）设，分两种情况讨论，当直线与轴重合时，当直线与轴不重合时，由，解得，所以点在定直线上．

解：（Ⅰ）由题设：，，

解得：，

所以椭圆的方程为：．

（Ⅱ）当直线与轴重合时，可得，不合题意；

当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，

设，联立，

消去整理得：，

有①，②，

由，得③，

联立①②③得，

解得：，

所以直线的方程为：．

（Ⅲ）设，

当直线与轴重合时，因为点在椭圆外，所以同号，

由，

得，解得：，

当直线与轴不重合时，

由（Ⅱ）知，，

因为，，，

因为点在椭圆外，所以同号，

由，

得，

整理得：，

即，

解得：，

代入直线方程，得：，

所以点在定直线上．