Question

【题目】四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；

（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）四边形为平面与四棱锥的表面的交线

【解析】分析：（Ⅰ）推导出，由此能证明平面；

（Ⅱ）推导出，，，以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立空间直角做消息，利用向量法能求出直线AB与平面EFG的所成角的正弦值；

（Ⅲ）法1：延长分别交延长线于，连接，发现刚好过点，,连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.

法2：记平面与直线的交点为，设，，利用向量法求出，从而即为点.连接，，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.

解析：解:（Ⅰ）在中，因为点分别是线段上的中点，

所以

因为平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）因为底面是边长为2的菱形，

所以，

因为平面，

所以，，

如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得

，，，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则由可得，

令，可得

因为.

所以直线与平面的成角的正弦值为

（Ⅲ）法Ⅰ：延长分别交延长线于，连接，发现刚好过点，,连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.

法2：记平面与直线的交点为，设，则

由，可得.

所以即为点.

所以连接，，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线.