Question

下图是几何体ABC-A₁B₁C₁的三视图和直观图．M是CC₁上的动点，N，E分别是AM，A₁B₁的中点．
（1）求证：NE∥平面BB₁C₁C；
（2）当M在CC₁的什么位置时，B₁M与平面AA₁C₁C所成的角是30°．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）过B₁作B₁F⊥A₁C₁，连接FM，可得∠B₁MF为B₁M与平面AA₁C₁C所成的角，求出B₁M的长，即可得到结论．
解答：（1）证明：连接AE并延长交BB₁于点D，连接DM，则NE为三角形ADM的中位线
∴NE∥DM
∵NE?平面BB₁C₁C，DM?平面BB₁C₁C
∴NE∥平面BB₁C₁C；
（2）解：过B₁作B₁F⊥A₁C₁，连接FM，则
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，B₁F?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁F
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，∴B₁F⊥平面AA₁C₁C
∴∠B₁MF为B₁M与平面AA₁C₁C所成的角，即∠B₁MF=30°
∵A₁B₁=B₁C₁=2，A₁B₁⊥B₁C₁，∴B₁F=
∴B₁M=2
∴C₁M=2
∵CC₁=4，
∴M是CC₁的中点时，B₁M与平面AA₁C₁C所成的角是30°．
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．