Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为 ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|PA||PB|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C的极坐标方程为 ，

∴ρ2=2ρcosθ+3，

将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，得x2+y2=2x+3，即x2+y2﹣2x﹣3=0．

∵直线l过定点P（1，1），且倾斜角为 ，

则直线l的参数方程为 ，即 （t为参数）

（2）解：将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得 ，

设方程两根分别为t1，t2，则 ，

∴AB的长|AB|=|t1﹣t2|= = = ，

|PA||PB|=|t1t2|=3

【解析】（1）曲线C的极坐标方程转为ρ2=2ρcosθ+3，将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x代入，能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过定点P（1，1），且倾斜角为 ，能求出直线l的参数方程．（2）将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，得 ，设方程两根分别为t1，t2，利用韦达定理及弦长公式能求出|AB|及|PA||PB|的值．