Question

在面积为9的△ABC中，tanA=-

4

3

，且

CD

=2

DB

．
（1）建立适当的坐标系，求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
（2）过点D分别作AB，AC所在直线的垂线DE，DF（E，F为垂足），求

DE

•

DF

的值．

Answer 1

分析：（1）因为以AB，AC所在直线为渐近线，故坐标系必以点A为坐标原点，∠CAB的角平分线所在的直线为一坐标轴．
建系后由tanA=-

4

3

和二倍角公式可写出直线AB，AC的方程，即已知双曲线的渐近线，可将方程设为4x²-y²=λ（λ≠0）的形式，再利用双曲线过点D求出λ即可．
（2）设出D点坐标，由点到直线的距离公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角与角A的联系，由向量数量积的定义求解即可．

解答：（1）以点A为坐标原点，∠CAB的角平分线所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），设∠CAx=α．
∵tanA=

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

，
∴tanα=2
所以，直线AC的方程为y=2x，直线AB的方程为y=-2x，
双曲线的方程可以设为4x²-y²=λ（λ≠0）．
设B（x₁，-2x₁），C（x₂，2x₂），由

CD

=2

DB

，
得D(

2x1+x2

3

，

-4x1+2x2

3

)，
所以4(

2x1+x2

3

)2-(

-4x1+2x2

3

)2=λ．
即

32

9

x1x2=λ（*）
由tanA=-

4

3

，得sinA=

4

5

又∵|AB|=

5

|x1|，|AC|

5

|x2|(x1x2＞0)，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|sinA=

1

2

•5x1x2•

4

5

=9，
即x1x2=

9

2

，代入等式（*），得λ=16．
所以，双曲线的方程为

x2

4

-

y2

16

=1．
（2）由题设可知?

DE

，

DF

?=π-A，所以cos?

DE

，

DF

?=cos(π-A)=

3

5

．
设点D（x₀，y₀），
则

x02

4

-

y02

16

=1，
于是，点D到AB，AC所在的直线的距离是|DE|=

|2x0-y0|

5

，|DF|=

|2x0-y0|

5

．
故

DE

•

DF

=|

DE

|•|

DF

|•cos?

DE

，

DF

?=

|2x0-y0|

5

•

|2x0-y0|

5

•

3

5

=

48

25

点评：本题考查求双曲线的方程、双曲线的渐近线等知识，以及平面向量、三角等，综合性较强，考查利用所学知识综合处理问题的能力．