Question

【题目】如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.

（1）求证：平面平面BDE；

（2）求二面角B-EF-D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；

（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.

（1）∵平面ABCD，平面ABCD.

∴.

又∵底面ABCD是菱形，∴.

∵，∴平面BDE，

设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，

，，四边形OCFG是平行四边形

，平面BDE

∴平面BDE，

又因平面BEF，

∴平面平面BDE.

（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系

∵BE与平面ABCD所成的角为，

，

，，，，.

，

设平面BEF的法向量为，，

，

设平面的法向量

设二面角的大小为.

.