【题目】已知函数,其中k∈R.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当k∈[1,2]时,求函数在[0,k]上的最大值的表达式,并求的最大值.
【答案】(1)详见解析过程;(2),,.
【解析】
(1)求出,分别讨论,,时正负情况即可;
(2)判断函数在[0,k]上单调性,求出,再利用导数求最值即可.
(1),
当时,令得,令得,故的单调递增区间为的单调递减区间为
当时,令得,或,
当时,当时或;当时;的单调递增区间为;减区间为.
当时,当时;当时;的单调递增区间为;
(2)当时,由(1)知,的单调递增区间为为;减区间为.
令,,
故在上单调递减,故,
所以当[0,k]时函数单调减区间为,单调增区间为;
故函数
由于
对于,,即,当时等号成立,
故.
当时由(1)知;的单调递增区间为;所以当[0,k]时函数单调递增,故.
综上所述:函数在[0,k]上的最大值为,
,由于,
∴对恒成立
∴在上为增函数.
∴.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于M,抛物线C的焦点为F,且.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设点Q是抛物线C上的动点,点D,E在y轴上,圆内切于三角形,求三角形的面积的最小值.
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【题目】已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试,现把这次考试的分数转换为标准分,标准分的分数转换区间为,若使标准分X服从正态分布N,则下列说法正确的有( ).
参考数据:①;②;③
A.这次考试标准分超过180分的约有450人
B.这次考试标准分在内的人数约为997
C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D.
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【题目】甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图,如图所示,记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为( )
A.s1s2s3B.s1s3s2
C.s3s1s2D.s3s2s1
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【题目】抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.
(1)证明:直线过定点;
(2)若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求该圆的面积.
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【题目】设函数,,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则;
②若方程恰好只有一个实数根,则;
③若,总有恒成立,则;
④若函数有两个极值点,则实数.
则正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知椭圆:()的右顶点为.左、右焦点分别为,,过点且垂直于轴的直线交椭圆于点(在第象限),直线的斜率为,与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线与椭圆交于、两点(、不与、重合),若,求直线的方程.
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