Question

某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x²成正比；②当x=时，y=a³，并且技术改造投入满足∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出函数解析式，利用当x=时，y=a³，并且技术改造投入满足∈（0，t]，即可确定函数解析式与定义域；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求出产品增加值的最大值及相应x的值．
解答：解：（1）由题意，设y=f（x）=k（a-x）•x²
∵当x=时，y=a³，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x²
∵∈（0，t]，∴x∈（0，]；
（2）
令f^′（x）=0，∴
当t∈（1，2]时，，
∴，f′（x）＞0时，函数单调递增；x∈，f′（x）＜0时，函数单调递减，
∴…（10分）
综上1≤t≤2时，投入万元最大增加值万元 …（12分）
点评：本题的考点是根据实际问题选择函数类型，主要考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，属于中档题．