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    某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x2成正比；②当x=
    a
    2
    时，y=a3，并且技术改造投入满足
    x
    2(a-x)
    ∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
    （1）求y=f（x）表达式及定义域；
    （2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．
    分析：（1）设出函数解析式，利用当x=
    a
    2
    时，y=a3，并且技术改造投入满足
    x
    2(a-x)
    ∈（0，t]，即可确定函数解析式与定义域；
    （2）求导函数，确定函数的单调性，即可求出产品增加值的最大值及相应x的值．
    解答：解：（1）由题意，设y=f（x）=k（a-x）•x2
    ∵当x=
    a
    2
    时，y=a3，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x2
    ∵
    x
    2(a-x)
    ∈（0，t]，∴x∈（0，
    2at
    2t+1
    ]；
    （2）f′(x)=-24x2+16ax=-24x(x-
    2
    3
    a)
    令f′（x）=0，∴x=
    2
    3
    a
    当t∈（1，2]时，
    2at
    2t+1
    ≥
    2
    3
    a    ，
    ∴x∈(0，
    2
    3
    a)    ，f′（x）＞0时，函数单调递增；x∈(
    2
    3
    a，
    2at
    2t+1
    )    ，f′（x）＜0时，函数单调递减，
    ∴x=
    2
    3
    a时，ymax=
    32
    27
    a3    …（10分）
    综上1≤t≤2时，投入
    2
    3
    a    万元最大增加值
    32
    27
    a3    万元 …（12分）
    点评：本题的考点是根据实际问题选择函数类型，主要考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，属于中档题．
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    a
    2
    时，y=a3，并且技术改造投入满足
    x
    2(a-x)
    ∈(0，t]    ，其中t为常数且t∈（1，2]．则函数y=f（x）表达式为
    f（x）=8（a-x）x2
    f（x）=8（a-x）x2
    ，定义域
    (0，
    2at
    2t+1
    ]
    (0，
    2at
    2t+1
    ]
    ．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北省襄樊市四校联考高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x2成正比；②当x=时，y=a3，并且技术改造投入满足∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
    （1）求y=f（x）表达式及定义域；
    （2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北省襄樊四校高三期中考试理科数学试卷 题型：解答题

    （本题12分）某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：①与成正比；②当时，，并且技术改造投入满足，其中为常数且。

    （1）求表达式及定义域；

    （2）求出产品增加值的最大值及相应的值。

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年湖北省襄樊四校高三期中考试文科数学试卷 题型：解答题

    （本题12分）某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：①与成正比；②当时，，并且技术改造投入满足，其中为常数且。

    （1）求表达式及定义域；

    （2）求出产品增加值的最大值及相应的值。

     

     

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