Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．
（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
（2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积．

Answer 1

【答案】证明：（1）在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB面ABC，
∴A1A⊥AB，
∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1 ，
又BC1⊥A1C，BC1面ABC1 ， AC1面ABC1 ， BC1∩AC1=C1
∴A1C⊥面ABC1 ，
而A1C面A1ACC1 ， 则面ABC1⊥面A1ACC1
（2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1 ， A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1 ，
∴AB⊥AC，
则有AC⊥面ABB1A1 ，
∵D是线段BB1的中点，
∴

【解析】（1）证明A1C⊥面ABC1 ， 即可证明：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
（2）证明AC⊥面ABB1A1 ， 利用等体积转换，即可求三棱锥D﹣ABC1的体积．