Question

【题目】已知直线与双曲线；

（1）当为何值时，直线与双曲线有一个交点；

（2）直线与双曲线交于、两点且以为直径的圆过坐标原点，求值。

Answer 1

【答案】（1）当或时，直线与双曲线有一个交点（2）

【解析】

（1）根据直线与双曲线的位置关系中直线与双曲线有一个交点的情况，讨论直线与双曲线的渐近线平行与不平行，解出即可得到答案。

（2）联立直线与双曲线可得到，，直线与双曲线交于、两点且以为直径的圆过坐标原点等价于，即，代入即可解出答案。

（1）直线过定点，双曲线渐近线方程为，

①当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点，此时；

②当时，联立与得：，

若直线与双曲线只有一个交点，则，解得，

所以，当或时，直线与双曲线有一个交点；

（2）设点，，

联立与得：，

所以，，

因为以为直径的圆过坐标原点，所以，

所以，

解得.满足判别式大于0