Question

【题目】函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求单调递减区间和极值（其中为自然对数的底数）；

（Ⅱ）若对任意，恒成立.求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；
（Ⅱ）由题意可知，函数f（x）-x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．

详解：

（Ⅰ）由，知，.

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，即，得.

所以.

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增.

所以当时，有极小值，且极小值为.

综上，的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.

（Ⅱ）因为对任意，恒成立

所以对任意恒成立，

令，

则在单调递减，

所以在恒成立，

所以恒成立.

令，则.

所以的取值范围是.