Question

设A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的动点，且|AB|＝，设O为坐标原点，动点P满足＝＋.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)过点(，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）见解析

【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，

∵＝＋，∴x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，

∵y1＝x1，y2＝－x2，?

∴x＝x1＋x2＝ (y1－y2)，y＝y1＋y2＝ (x1－x2)．

∵|AB|＝＝，∴x2＋2y2＝2，

∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.

(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l1的方程为x－＝ky.

由，得(k2＋4)y2＋2ky－1＝0，

∴y1＋y2＝－，x1＋x2＝.∴M点坐标为，

同理可得N点坐标为.

∴直线MN的斜率kMN＝.

∴直线MN的方程为y＋＝.

整理化简得4k4y＋(4－5x)k3＋12k2y－16y＋(－20x＋16)k＝0，

∴x＝，y＝0，∴直线MN恒过定点