Question

【题目】已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB．

又∵DB⊥平面ABC，

∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE，

∵EM平面ABDE，∴CM⊥EM

（2）解：如图，以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，

过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．

∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角．

由题意得tan ，即BD=2，故B（0，1，0），C（ ），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），

∴ =（ ）， =（0，0，2）， =（﹣ ）， =（﹣ ），

设平面BCD与平面CDE的法向量分别为 =（x，y，z）， =（a，b，c），

则 ，令x=1，得 =（1， ，0）．

同理求得 =（1，﹣ ， ），

∴cos＜ ＞= =0，∴二面角B﹣CD﹣E的大小为90°．

【解析】（1）推导出CM⊥AB，DB⊥CM，从而CM⊥平面ABDE，由此能证明CM⊥EM．（2）以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的大小．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．