Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，其左、右焦点为F1、F2 ， 点P是坐标平面内一点，且|OP|= ， = ，其中O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过点S（0，﹣ ）的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x0，y0），∵|OP|= ，∴ = ，①

又 = ，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）（c﹣x0，﹣y0）= ，即 ，②

①代入②得：c=1．又e= ，∴a= ，b=1，

故所求椭圆方程为 =1

（2）解：假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．

当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1，…③

当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为： ，…④

由③，④知定点M（0，1）．

下证：以AB为直径的圆恒过定点M（0，1）．

设直线l：y=kx﹣ ，代入 =1，有（2k2+1）x2﹣ =0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ．

则 ，

=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=

=（1+k2）x1x2﹣ +

=（1+k2） ﹣ + =0，

∴在y轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过M（0，1）这个定点

【解析】（1）设P（x0，y0），由|OP|= ， = ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为： ，从而求出定点M（0，1）．再证明以AB为直径的圆恒过定点M（0，1）．由此得到在y轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过M（0，1）这个定点．