Question

【题目】已知圆 : ，直线 ： ．
（1）设点 是直线 上的一动点，过 点作圆 的两条切线，切点分别为 ，求四边形 的面积的最小值；
（2）过 作直线 的垂线交圆 于 点， 为 关于 轴的对称点，若 是圆 上异于 的两个不同点，且满足： ，试证明直线 的斜率为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设四边形 的面积为 ， ，
，所以，当 最小时， 就最小，
，所以：
（2）解：直线 的方程为： ，代入 ，且 在第一象限，得 则 ．设 ， ，
， 设直线 的斜率为 ，则 斜率为 ， ， ，
联立 消 得： ， ，得 ，
同理 ， ，
所以，直线 的斜率为定值1．
【解析】(1)首先求出四边形的面积，结合面积以及勾股定理公式得出当 | O P | 最小时， | A P | 就最小，，由题意可知最小距离即为原点到直线l的距离，求出该值即为四边形面积的最小值。(2)首先根据题意由角的相等关系得出直线DM的斜率，再由点斜式求出直线的方程，联立直线与圆的方程消元得到关于x的一元二次方程，结合韦达定理求出xMx1的值，因为xM的值为1进而求出x1的代数式，同理得到x2的代数式，故整理可得直线CD的斜率从而求出其值为1即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的斜率的相关知识，掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα．