Question

【题目】直角坐标系中，圆（为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设与两坐标轴分别相交于两点，点在上，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1），（2），

【解析】

（1）把代入直线的极坐标方程，可得 ；求出曲线的参数方程为（为参数），再消参化成普通方程；

（2）不妨设，所以，设，令点到直线的距离为，利用三角形的面积公式和三角函数的有界性，即可得答案；

（1）由得．

把代入上式可得直线的直角坐标方程为

因为圆的参数方程为（为参数）．

设为圆上任意一点，在已知的变换下变为上的点，则有

因为（为参数），所以，

曲线的参数方程为（为参数）．

可得普通方程为．

（2）不妨设，所以．

设，令点到直线的距离为，

则的面积，

当且仅当，即时，，

所以，

所以面积的最大值，相应点的坐标为．