Question

【题目】设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3 （Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，求cos2θ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3

=4sinxcosx﹣4sin2x+3

=2sin2x﹣4× +3

=2sin2x+2cos2x+1

=2 sin（2x+ ）+1，

令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

又x∈（0，π），

所以f（x）的单调递减区间是[ ， ]；

（Ⅱ）由f（x）=2 sin（2x+ ）+1在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，

令x=0，得f（0）=2 sin +1=3；

令f（x）=2 +1，得sin（2x+ ）=1，

解得x= ，∴θ＞ ；

令f（x）=0，得sin（2x+ ）=﹣ ，

∴2x+ ＜ ，

解得x＜ ，即θ＜ ；

∴θ∈（ ， ），

∴2θ+ ∈（ ， ）；

由2 sin（2θ+ ）+1=0，

得sin（2θ+ ）=﹣ ，

所以cos（2θ+ ）=﹣ =﹣ ，

所以cos2θ=cos[（2θ+ ）﹣ ]

=cos（2θ+ ）cos +sin（2θ+ ）sin

=﹣ × +（﹣ ）×

=﹣ ．

【解析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据题意，求出sin（2θ+ ）的值，再根据同角的三角函数关系和三角恒等变换求出cos2θ的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．