Question

已知函数y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)相邻的两个最高点和最低点分别为(

π

6

，2)，(

2π

3

，-2)
（Ⅰ）求函数表达式；
（Ⅱ）求该函数的单调递减区间；
（Ⅲ）求x∈[0，

π

2

]时，该函数的值域．

Answer 1

分析：（I）根据函数y=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)相邻的两个最高点和最低点分别为，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将(

π

6

，2)代入解析式，结合|φ|＜

π

2

，可求出φ值，进而求出函数的解析式．
（II）由2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，k∈Z，求出自变量的取值范围，可得函数的单调递减区间；
（Ⅲ）由x∈[0，

π

2

]，求出相位角2x+

π

6

的取值范围，进而根据正弦函数的图象求出最值，可得函数的值域．

解答：解：（I）由函数图象相邻的两个最高点和最低点分别为(

π

6

，2)，(

2π

3

，-2)
∵A＞0
∴A=2
∵

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，ω＞0
∴ω=2
∴y=2sin（2x+φ）
将(

π

6

，2)代入y=2sin（2x+φ）得sin（

π

3

+φ）=1
即

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z
即φ=

π

6

+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜

π

2

∴φ=

π

6

∴函数表达式为2sin（2x+

π

6

）
（II）由2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，k∈Z，得
x∈[

π

6

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z，
∴函数的单调递减区间为[

π

6

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z，
（III）当x∈[0，

π

2

]时，
2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，函数取最大值2
当2x+

π

6

=

7π

6

时，即x=

π

2

时，函数取最小值-1
∴函数的值域为[-1，2]

点评：本题考查的知识点是正弦型函数的解析式求法，正弦型函数的单调区间，正弦型函数在定区间上的值域，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．