Question

已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂，代入直线方程可表示出y₁+y₂，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．
（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y=-x+n．
由

x2+3y2=4 y=-x+n

得4x²-6nx+3n²-4=0．
因为A，C在椭圆上，
所以△=-12n²+64＞0，解得-

4 3

3

＜n＜

4 3

3

．
设A，C两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

3n

2

，x1x2=

3n2-4

4

，y₁=-x₁+n，y₂=-x₂+n．
所以y1+y2=

n

2

．
所以AC的中点坐标为(

3n

4

，

n

4

)．
由四边形ABCD为菱形可知，点(

3n

4

，

n

4

)在直线y=x+1上，
所以

n

4

=

3n

4

+1，解得n=-2．
所以直线AC的方程为y=-x-2，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
所以|AB|=|BC|=|CA|．
所以菱形ABCD的面积S=

3

2

|AC|2．
由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=

-3n2+16

2

，
所以S=

3

4

(-3n2+16)(-

4 3

3

＜n＜

4 3

3

)．
所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值4

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配