Question

【题目】某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人数为名.

（1）设完成、型零件加工所需的时间分别为、小时，写出与的解析式；

（2）当取何值时，完成全部生产任务的时间最短？

Answer 1

【答案】（1）（，且）；（，且）；（2）为了在最短时间内完成生产任务，应取32.

【解析】

（1）分别计算得到和，再计算定义域得到答案.

（2）根据和的大小关系得到，分别计算函数的最小值得到答案.

（1）生产150件产品，需加工型零件450个，

则完成型零件加工所需时间（，且）.

生产150件产品，需加工型零件150个，

则完成型零件加工所需时间（，且）.

（2）设完成全部生产任务所需时间为小时，则为与的较大者.

令，即，解得.

所以，当时，；当时，.

故.

当时，，故在上单调递减，

则在上的最小值为（小时）；

当时，，故在上单调递增，

则在上的最小值为（小时）；

∵，∴在上的最小值为.

∴.

为了在最短时间内完成生产任务，应取32.