Question

等比数列{x_n}各项均为正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值为多少？
（3）当n＞12时，要使x_n＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）只要证明y_n+1-y_n为常数即可
（2）由y₄=17，y₁₇=11，可求公差d，进而可求通项，然后由

yn≥0 yn+1≤0.

可求满足条件的n
（3）由（2）知，当n＞12时，y_n＜0成立，结合已知可求x_n，进而可求a的范围

解答：证明：（1）设等比数列{x_n}的公比为q，且q＞0．
∵y_n=2log_ax_n，
∴y_n+1-y_n=2log_a（

xn+1

xn

）=2log_aq．
∴{y_n}为等差数列．
解：（2）设{y_n}的公差为d，由y₄=17，y₁₇=11，
可得d=

y17-y4

17-4

=

11-17

7-4

=-2，y₁=23，
∴y_n=25-2n．
令

yn≥0 yn+1≤0.

可解得

23

2

≤n≤

25

2

．
∵n∈N^*．
∴n=12．
∴{y_n}的前12项之和最大，最大值为S₁₂=144．
（3）由（2）知，当n＞12时，y_n＜0成立．
∵y_n=2log_ax_n，
∴x_n=a

yn

2

当a＞1，且n＞12时，有x_n=a

yn

2

＜a⁰=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a

yn

2

≥a-

1

2

＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜

1

4

．

点评：本题主要考查了等差数列的定义及等差数列的性质、通项公式及和的最值的求解，