Question

3．已知点A（-1，0），B（1，0）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． x²-y²=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合a，b，c的关系，求出a=b．由a=1，即可求得双曲线的标准方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，
过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故点M的坐标为M（2a，$\sqrt{2}$a），
代入双曲线方程得 $\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即为a²=b²，
由A（-1，0），B（1，0）为双曲线的双曲线左右顶点，
则a=b=1，
∴双曲线的标准方程：x²-y²=1，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质：离心率，注意运用点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．