Question

若F₁、F₂为双曲线C：的左、右焦点，O为坐标原点，点P及N(2，)均在双曲线C上，M在G的右准线上，且满足.

(1)求双曲线C的离心率及其方程；

(2)设双曲线C的虚轴端点为B_l、B₂，(B₁在y轴的正半轴上)，点A、B在双曲线上，且,当=0时，求直线AB的方程．

Answer 1

解:∵

∴四边形OF₁PM为菱形.

设F₁(-c,0),则|PF₁|=|PM|=c

由双曲线第一定义,得|PF₂|=2a+c

由双曲线第二定义，得

整理，得e²-e-2=0  解得e=2(e=-1舍去) 

此时C的方程为,将N（2，）代入得,a²=3

∴双曲线方程为 

(2)依题意B₁(0,3),B₂(0,-3)

∵

∴A、B、B₂三点共线，设其方程为y=kx-3.

由  得(3-k²)x²+6kx-18=0.(*)

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

∵k≠±  ∴x₁+x₂=,x₁x₂= 

y₁+y₂=k²x₁x₂-3k(x₁+x₂)+9=9

∵=0 ∴(x₁,y₁-3)·(x₂,y₂-3)=0

∴x₁x₂+y₁y₂-3(y₁+y₂)+9=0

∴+9-3·+9=0,解得k=±

此时方程（*）中，△＞0.故所求直线方程为y=±x-3