Question

【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表中数据得K2的观测值K2= = ＞5.024．

所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．

（2）解：设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，

则基本事件满足的区域为 （如图所示）．

设事件A为“乙比甲先做完此道题”

则满足的区域为x＞y．

∴P（A）= =

即乙比甲先解答完的概率为 ．

（3）解：在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有 =28 种，

其中甲、乙两人都不被被抽到有 =15种；恰有一人被抽到有 =12种；两人都被抽到有 =1种．

X可能取值为0，1，2，

P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ．

X的分布列为：

X	0	1	2
P

∴E（X）=0× +1× +2× =

【解析】（1）计算K2 ， 对照附表做结论；（2）作出甲，乙两人解答时间的平面区域，找出乙比甲早做完对于的区域，则区域面积的比值即为所求概率；（3）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X取不同值时的概率，得到X的分布列，求出数学期望．