Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用数学归纳法证明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且a1=

9

10

，求无穷数列{

1

bn

}所有项的和．

Answer 1

分析：（1）要求用数学归纳法证明：按照两个步骤进行，特别注意递推即可．
（2）由a_n+1=-a_n²+2a_n和b_n=lg（1-a_n）及a1=

9

10

，求得b_n列进而求得{

1

bn

}，再取极限即可．

解答：（1）证明：①当n=1时，由条件知，成立
②假设n=k成立，即0＜a_k＜1成立，
当n=k+1时，a_k+1=-a_k²+2a_k=-（a_k-1）²+1，
∵0＜a_K＜1
∴0＜（a_k-1）²＜1
∴0＜-（a_k-1）²+1＜1
∴0＜a_K+1＜1
这就是说，当=k+1时，0＜a_k＜1也成立．
根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜a_n＜1恒成立．

（2）解：1-a_n+1=（1-a_n）²，0＜a_n＜1；
lg（1-a_n+1）=lg（1-a_n）²，，即lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即：b_n+1=2b_n
∴{b_n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列．
∴b_n=-2^n-1，∴

1

bn

= -

1

2n-1

无究数列{

1

bn

}所有项的和为：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+…=

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）=

lim

n→∞

[（-1）×

1-(  1 2 ) n

1- 1 2

]=-2×

lim

n→∞

（1-(

1

2

) n）=-2

点评：本题主要考查数学归纳法和等比数列的求法及无穷数学所有项的和的求法．