Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}． （Ⅰ）求实数a的值：
（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．解得a﹣3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}． 所以 ，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），则
所以函数g（x）的最小值为 ．
由不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，得 ．
于是实数m的取值范围为
【解析】（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．得a﹣3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}．所以 ，解得a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，设函数g（x）=f（3x）+f（x+3），求出函数g（x）的最小值，m≤g（x）的最小值即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．