Question

【题目】已知为自然对数的底数, ).

(1)设为的导函数,证明:当时, 的最小值小于0;

(2)若恒成立,求符合条件的最小整数

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先对函数进行求导，然后再对导函数进行求导，判断导函数的单调性与单调区间，利用单调性确定到导函数的最小值；（2）先根据条件，确定问题即求函数的最小值大于0，然后对函数进行求导，利用函数的单调性及零点存在定理确定函数存在零点，并表示零点，然后通过不等式恒成立，确定关于的关系式，再对该关系式进行求导，利用导数判断单调性，求得的取值范围，最后得到其取到的最小整数.

试题解析：(1)令,则

因为,令,则.

所以当时, 单调递减;

当时, 单调递增.

则= = ==

令,

当时, 单调递增;

当时, 单调递减.

所以,所以成立.

(2) 恒成立,等价于恒成立.

令,

则因为,所以,所以单调递增.

又,

所以存在,使得.

则时, 单调递减;

时, 单调递增.

所以恒成立. ①

且②

由①②得==恒成立.

又由②得,

所以

,

所以,

所以单调递增, =,

=,

所以,所以符合条件的最小整数.