Question

【题目】定义域为的偶函数满足对，有，且当时， ，若函数在上至多有三个零点，则的取值范围是

__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），

且f（x）是定义域为R的偶函数，

令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），

又f（﹣1）=f（1），

∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．

当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，

函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．

∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，

令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至多有3个交点．

可以分两种情况：其一是有交点时，其二是一个交点也没有，

当一个交点都没有时，即a>1.

当有交点时，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，

要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至多有三个零点，

则有g（4）<f（4），可得 loga（4+1）＞f（4）=﹣2，

即loga5<﹣2，∴5>，解得，又0＜a＜1，∴＜a＜1，

故答案为： 。