Question

关于函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R），有下列命题：
①y=f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称
②y=f（x）的图象可由y=2sin2x的图象向右平移

π

6

个单位得到
③y=f（x）的图象关于点（

π

6

，0）对称
④y=f（x）在（-

π

6

，

π

6

）上单调递增
⑤若f（x₁）=f（x₂）可得x₁-x₂必为π的整数倍
⑥y=f（x）的表达式可改写成 y=2cos（2x+

π

3

）
其中正确命题的序号有

①④

．

Answer 1

分析：根据对称轴的定义可得f（x）的图象关于直线x=-

π

6

对称，故①正确；y=2sin2x的图象向右平移

π

6

个单位得到y═2sin（2x-

π

3

），故②不正确；求出函数的对称中心判定③不正确；求出函数的增区间判定④正确；求出函数的周期判断⑤不正确；由f（x）=2sin（2x-

π

6

）=-2cos（2x+

π

3

），知⑥不正确．

解答：解：f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的对称轴是2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

π

3

，当k=-1时，x=-

π

6

，故①正确；
y=2sin2x的图象向右平移

π

6

个单位得到y=2sin2（x-

π

6

）=2sin（2x-

π

3

），故②不正确；
函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的对称点的横坐标满足2x-

π

6

=kπ，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，故③不成立；
函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的增区间满足-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
即函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的增区间是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z，故④成立；
函数f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）的周期T=

2π

2

=π，
若f（x₁）=f（x₂）可得x₁-x₂必为必是半个周期

π

2

的整数倍，故⑤不正确；
f（x）=2sin（2x-

π

6

）=2cos（

π

2

-2x+

π

6

）=2cos（

2π

3

-2x）=-2cos（2x+

π

3

），
故⑥不正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查正弦函数的性质，考查基本概念，基本知识的理解掌握程度，是基础题．