Question

已知函数g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=

1

4

时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由题意求出函数g（x）的定义域，把两函数作积后得到f（x）的解析式，两函数定义域的交集为f（x）的定义域；
（2）代入a=

1

4

，把函数f（x）的解析式换元，转化为不含根式的函数，然后利用函数的单调性求解函数的最值．

解答：解：（1）∵g（x）=

x

+1，h（x）=

1

x+3

，x∈（-3，a]，
∴f（x）=g（x）•h（x）=(

x

+1)

1

x+3

=

x +1

x+3

，
即f（x）=

x +1

x+3

，x∈[0，a]．（a＞0）；
（2）当a=

1

4

时，函数f（x）的定义域为[0，

1

4

]．
令

x

+1=t，则x=（t-1）²，t∈[1，

3

2

]．
∴f（x）=F（t）=

t

t2-2t+4

=

1

t+ 4 t -2

．
∵t=

4

t

时，t=±2∉[1，

3

2

]，又t∈[1，

3

2

]时，t+

4

t

单调递减，F（t）单调递增，
则当t=1时，F（t）有最小值

1

3

，当t=

3

2

时，F（t）有最大值

6

13

．
∴函数f（x）的最小值为

1

3

，最大值为

6

13

．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数的定义域及其求法，训练了还原法及利用函数的单调性求最值，是中低档题．