Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）或， 时，证明： .

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）函数的导数 ，分和两种情况讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，设，再求，分和两种情况讨论函数的单调性和函数的最小值，证明函数的最小值大于0.

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为， ，

当时， ， ，函数单调递减；

当时， ， ，函数单调递减， ， ，函数单调递增，

所以当时，函数在单调递减；

当时，函数在单调递减，在单调递增.

（Ⅱ）设， ，

设， .

①当时， ， ，所以在上单调递增；

∴，即， 在上单调递增，

∴，不等式成立；

②当时， ， ； ， ，

所以在上单调递减，在上单调递增；

∴，

即， 在上单调递增. ∴，不等式成立；

综上所述：当， 时，有恒成立.