Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，P为侧面BB₁C₁C内的动点，且PA=2PB，则P点所形成轨迹图形的长度为（　　）

• A．

  2

• B．

  2 3

  3

  π
• C．π
• D．

  3

  6

  π

Answer 1

分析：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，B的坐标，设P（x，1，z）利用PA=2PB，可求得P点所形成轨迹方程，从而可得答案．

解答：解：以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），
∵P为侧面BB₁C₁C内的动点，故点P的纵坐标为1，
设P（x，1，z），
则|PA|=

(x-1)2+(1-0)2+z2

，|PB|=

(x-1)2+(1-1)2+z2

，
∵PA=2PB，
∴(

(x-1)2+(1-0)2+z2

)2=4(

(x-1)2+(1-1)2+z2

)2，
∴（x-1）²+z²=

1

3

，
∴点P是以（1，1，0）为圆心，以

3

3

为半径的球与面BB₁C₁C内相交的圆面．
∴轨迹图形的长度为该圆的周长2π×

3

3

=

2 3

3

π．
故选B．

点评：本题考查空间两点间的距离公式，考查动点的轨迹方程，求得P点所形成轨迹方程是难点，也是关键，属于中档题．