Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求的最小值.

（Ⅱ）若在区间上有两个极值点，

（i）求实数的取值范围；

（ii）求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出，列表讨论的单调性，问题得解。

（Ⅱ）（i）由在区间上有两个极值点转化成有两个零点，即有两个零点，求出，讨论的单调性，问题得解。

（ii）由得，将转化成，由得单调性可得，讨论在的单调性即可得证。

解：（Ⅰ）当时，，，令，得.

的单调性如下表：

	-	0	+
	单调递减		单调递增

易知.

（Ⅱ）（i）.令，则.

令，得.

的单调性如下表：

	-	0	+
	单调递减		单调递增

在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点，

结合的单调性可知，且，即且.

所以，即的取值范围是.

（ii）由（i）知，所以.

又，，，结合的单调性可知，.

令，则.当时，，，，

所以在上单调递增，而，，

因此.