Question

【题目】已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>1)．

(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．

Answer 1

【答案】（1）切线方程为y＝1；（2）答案见解析.

【解析】

(1)由f′(0)＝k,可得函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程的斜率，又f(0)＝1。可得切线方程

(2)求出f′(x)，令f′(x)=0得出零点。讨论f′(x)随x变化的情况即可得出单调区间以及极值。

(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，

令f′(x)＝0，即＝0.

解得x＝0或x＝a－1.

当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的情况如下：

x	(－1，0)	0	(0，a－1)	a－1	(a－1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln a－a2＋.