Question

【题目】已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值．

(1)求实数c的取值范围；

(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f(x)＜d2＋2d恒成立，求实数d的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(－∞，－7)∪(1，＋∞).

【解析】

(1)求出导函数的解析式，然后根据函数有极值，方程有两个实数解,构造关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围；（2）若在处取得极值，则，求出满足条件的值后，可以分析出函数的单调性，进而分析出当时，函数的最大值,又由当时，恒成立，可以构造出一个关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围.

(1)∵f(x)＝x3－x2＋cx＋d，∴f′(x)＝x2－x＋c，

要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个不相等的实数解，

从而Δ＝1－4c＞0，∴c＜, 即实数c的取值范围为.

(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，

∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2,∴f(x)＝x3－x2－2x＋d.

∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，

∴当x∈(－∞，－1]时，f′(x)＞0，函数单调递增；

当x∈(－1,2]时，f′(x)＜0，函数单调递减．

∴x＜0时，f(x)在x＝－1处取得最大值＋d，

∵x＜0时，f(x)＜d2＋2d恒成立，∴＋d＜d2＋2d，即(d＋7)(d－1)＞0，∴d＜－7或d＞1，

即实数d的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).