Question

已知△ABC，且AC=BC，若P₀是边AB上一定点，若对于边AB上任一点P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

则 （　　）

• A、

  P0B

  =

  1

  2

  AB

• B、

  P0B

  =

  1

  3

  AB

• C、

  P0B

  =

  2

  3

  AB

• D、

  P0B

  =

  1

  4

  AB

Answer 1

分析：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（0，b），P（x，0），x∈[-2，2]，P₀（m，0），然后根据对于边AB上任一点P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

建立关系式，转化成坐标关系，从而可求出所求．

解答：解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，
∵△ABC，且AC=BC，
∴设AB=4，C（0，b），P（x，0），x∈[-2，2]，P₀（m，0），
则A（-2，0），B（2，0），
∴

PB

=（2-x，0），

PC

=（-x，b），

P0B

=（2-m，0），

P0C

=（-m，b），
∵对于边AB上任一点P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

，
∴（2-x）（-x）≥（2-m）（-m）在x∈[-2，2]上恒成立，
即m²-2m≤x²-2x在x∈[-2，2]上恒成立，
而函数y=x²-2x在x∈[-2，2]上的最小值为-1，
则m²-2m≤-1，即（m-1）²≤0，
∴m=1，即

P0B

=

1

4

AB

．
故选D．

点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力和转化的思想．属于中档题．