Question

已知球O的半径为2

3

，点A为球面上的点，过A作球O的截面圆O₁，设圆O₁的周长为x，球心O到截面圆O₁的距离为y，当xy的值最大时，圆O₁的面积是

6π

．

Answer 1

分析：在小圆O₁中，设过A的直径为AB，连接OA、OO₁，设圆O₁的半径为r，根据圆周长公式和球的截面圆性质建立关于x、y、r的方程组，消去r得

x2

4π2

+y²=12，再结合基本不等式可得当y=

x

2π

时，xy有最大值12π，由此算出r=

6

，即得圆O₁的面积．

解答：解：在小圆O₁中，设过A的直径为AB，连接OA、OO₁，
设圆O₁的半径为r，得：

2πr=x r2+y2=(2 3 )2

，
消去r，得

x2

4π2

+y²=12
∵

x2

4π2

+y²≥2•

x

2π

•y=

xy

π

∴

xy

π

≤12，得xy≤12π．当且仅当

x2

4π2

=y²，即y=

x

2π

时，xy有最大值12π
此时圆O₁的半径r=

x

2π

=

6

，得圆O₁的面积是π•(

6

)2=6π
故答案为：6π

点评：本题给出球的半径R，求经过某点满足特殊条件的球小圆的面积，着重考查了球的截面圆性质和基本不等式等知识，属于基础题．