Question

【题目】如图，在宽为的路边安装路灯，灯柱高为，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为，到灯柱所在直线的距离为．设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上．

（1）当为何值时，点恰好在路面中线上?

（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)当为时，点在路面中线上；（2）

【解析】

（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出PQ的方程，设C（a，b），根据CA＝CP＝r列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值；

（2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．

（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），

∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则，

两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，

∴．∴当时，点Q恰好在路面中线上．

（2）由（1）知a+b﹣10＝0，

当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．

当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝（x﹣2），

令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），

∵H在线段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．

∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，

当且仅当＝a即a＝时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣）m．