Question

【题目】设函数， （）.

（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；

（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；

（3）当时，设函数与的图象交于 两点．求证： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得，又，解方程组可得的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得的最小值；(3)先根据零点表示b，代入要证不等式化简得.再构造函数，以及，结合导数研究其单调性，即证得结论

试题解析：解：（1）由，得，又，所以，.

当时， ，所以，所以.

因为函数与的图象在处有相同的切线，

所以，即，解得.

（2）当时，则，又，设，

则题意可转化为方程在上有相异两实根．

即关于的方程在上有相异两实根．

所以，得，

所以对恒成立．

因为，所以（当且仅当时取等号），

又，所以的取值范围是，所以．

故的最小值为.

（3）当时，因为函数与的图象交于两点，

所以，两式相减，得.

要证明，即证，

即证，即证.

令，则，此时即证．

令，所以，所以当时，函数单调递增．

又，所以，即成立；

再令，所以，所以当时，函数单调递减，

又，所以，即也成立．

综上所述， 实数满足.