Question

【题目】对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；

(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）－1，3（2）0<a<1

【解析】试题分析：（1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点”建立方程解之即可；

（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．

解：（1）当a=1，b=﹣2时，f（x）=x2﹣x﹣3=xx2﹣2x﹣3=0（x﹣3）（x+1）=0x=3或x=﹣1，

∴f（x）的不动点为x=3或x=﹣1．

（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点

对任意实数b，ax2+（b+1）x+b﹣1=x即ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根

对任意实数b，△=b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立

对任意实数b，b2﹣4ab+4a＞0恒成立

△′=（4a）2﹣4×4a＜0

a2﹣a＜0

0＜a＜1．

即a的取值范围是0＜a＜1．